O que significam movimentações do tipo: andamento manual, andamento automático, publicações manuais e publicações manuais?

Andamentos automáticos são aqueles capturados através da consulta pública no site dos Tribunais.

Andamentos manuais são aqueles que o próprio usuário pode inserir dentro da aba Movimentações. 

Exemplos:

Publicações automáticas são aquelas buscadas nos Diários de Justiça e painéis* que são vinculadas automaticamente às pastas cujo número de CNJ sejam iguais.

Publicações manuais são aquelas buscadas nos Diários de Justiça e painéis* que o usuário, por alguma razão, vincule à uma pasta cujo número de CNJ seja igual ou diferente. 

*Painéis de intimações eletrônicas são contratados à parte.